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cours et exercice en Analyse mathématique
mehraoui

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المدير العام
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مُساهمةعنوان المشاركة: cours et exercice en Analyse mathématiqueمرسل: الثلاثاء فبراير 14, 2012 1:36 am



Analyse mathématique




L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel
et intégral. Ce cours comprend quatre parties.


La première porte sur le calcul différentiel des fonctions
réelles d'une variable réelle. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant
toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À
partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par la
notion de limite d'une suite ou d'une série numérique et son application à la
représentation décimale des nombres, en poursuivant avec la notion de fonction
continue et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par la définition
et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des
fonctions convexes.


La deuxième porte sur le calcul intégral. On y présente d'abord la définition et les
propriétés de l'intégrale d'une fonction réelle continue d'une variable réelle. On
utilise ensuite cet outil pour introduire les fonctions élémentaires usuelles
de l'analyse, à savoir le logarithme, l'exponentielle, les fonctions trigonométriques
directes et inverses et la fonction gamma. On y étudie enfin la représentation
de ces fonctions par des séries de Taylor et des séries de Fourier.


La troisième porte sur le calcul différentiel
des fonctions de plusieurs variables. On y présente d'abord les propriétés
algébriques, géométriques et topologiques de l'espace euclidien à n
dimensions. À partir de là, on développe le calcul différentiel des
fonctions de plusieurs variables réelles, à valeurs réelles ou à valeurs
dans un autre espace euclidien. En particulier, le théorème des fonctions
inverses est présenté et appliqué, via le théorème des fonctions
implicites, à des problèmes d'optimisation sous contraintes.


La quatrième porte sur le calcul différentiel
et intégral des fonctions complexes d'une variable complexe. L'on présente
tout d'abord les propriétés des nombres complexes et l'extension aux variables
complexes des fonctions élémentaires d'une variable réelle. On développe
ensuite le calcul différentiel et intégral complexe de ces fonctions et on étudie
les propriétés supplémentaires qui en découlent. Quelques applications aux séries
et aux intégrales de Fourier sont enfin exposées.










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